GEOMETRÍA Y AJEDREZ

HIPÓTESIS: El tablero de ajedrez representa el día y la noche. También simboliza el ciclo lunar de 32 días, entre una luna llena y la siguiente. Es la caracterización de la lucha cósmica entre el bien y el mal, entre la luz y las sombras. El genoma humano es el genoma (del griego ge-o: que genera, y -ma: acción) del Homo sapiens, es decir, la secuencia de ADN contenida en 23 pares de cromosomas en el núcleo de cada célula humana diploide. El 23 invertido da 32. Las células somáticas de un organismo poseen en su núcleo un total de 46 cromosomas (23 pares): una dotación de 22 autosomas procedentes de cada progenitor y un par de cromosomas sexuales, un cromosoma X de la madre y un X o un Y del padre. El 46 invertido da 64. La serie de números 4, 8, 16, 32 y 64, provienen de las matemáticas sagradas. La suma del 4 y el 6 dan el 10, que, para los Sacerdotes Egipcios representaba el número del destino. Para los Sacerdotes Hebreos significaba el número de la Divinidad o el IOD sagrado. El tablero de ajedrez es geometría básica. La representación simbólica de las figuras colocadas encima del tablero, ha tenido un significado diverso en las distintas culturas de la prehistoria. El tablero del ajedrez actual, es tan antiguo como el homo faber o el homo habilis. Por lo tanto, el ajedrez no fue inventado por los hindúes, ni es correcta la leyenda del sabio Sissa Ben Dahir. La evolución del ajedrez ha sido demasiado lenta. Para ser comprendido por las computadoras, como un algoritmo inconmensurable, complejo, que no ha sido descifrado, tardó más de 2.5 millones de años. Hay que enfocar la comprensión del ajedrez con ojos nuevos. Mirar su esencia por encima de los símbolos, de la representación antigua de la guerra. El atributo fundamental del ajedrez es la geometría sagrada. Su origen son las matemáticas mágicas. El número inconmensurable. Urge enseñarlo de manera distinta. Abrir la ventana para que entre el aire fresco, nos haga bien de vez en cuando. No propongo que se invente de nuevo. Digo que olvidemos el viejo discurso, con que se ha transmitido las reglas desde hace más de 1,000 años. Hallemos una nueva metodología. Encontremos las palabras de la pedagogía del porvenir. Por supuesto, la naturaleza del ajedrez permanece inmutable: todas sus implicaciones educativas, psicológicas, morales, deportivas, sociológicas, antropológicas, filosóficas, biológicas e históricas, están salvo. Espero que podamos trabajar en la dirección que nos permita encontrar el algoritmo que resuelva de una vez y para siempre, el misterio del ajedrez.

San Luis Potosí, San Luis Potosí, México. 31 de octubre del año 2009.

David Rangel Tapia,

Maestro Nacional de Ajedrez.

GEOMETRÍA Y AJEDREZ

La Geometría es el estudio matemático detallado de las figuras geométricas y sus características: forma, extensión, posición relativa, propiedades.

La observación de la naturaleza nos muestra la existencia de variadas formas en los cuerpos materiales que la componen y nos proporciona la idea de volumen, superficie, línea, y punto. Por necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir, construir o desplazarse, llevaron al hombre a hacer uso de las diversas propiedades de las figuras geométricas.

Una vez adquiridas estas nociones y prescindiendo de su origen práctico, la Geometría (medición de la tierra), de ser un conjunto de técnicas, pasó a constituir una disciplina matemática formal, donde la figura geométrica es un ente abstracto y sus propiedades el objeto de estudio de la Geometría.

Su aplicación práctica se estudia en física, mecánica, astronomía, náutica, balística, ajedrez.

Las figuras geométricas más elementales son el punto, la recta y el plano. Mediante transformaciones y desplazamientos de sus componentes generan diversas líneas, superficies y volúmenes, que son objeto de estudio en matemáticas: geometría, topología, desplazamiento espacial. Adimensional: Punto. Unidimensional (lineal): Recta. Semirrecta (segmento): Curva. Bidimensional (superficial): Plano. Delimitan superficies: Polígono, triángulo, cuadrilátero. Sección cónica: circunferencia, elipse, parábola, hipérbola.

• El punto, en geometría, es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación a otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. El punto es un elemento geométrico adimensional, no es un objeto físico; describe una posición en el espacio, determinada en función de un sistema de coordenadas preestablecido. El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, compilada en Alejandría por Euclides, en su tratado Los Elementos, dando una vaga definición de punto: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, y sólo era necesario asumir la noción de punto. Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia: En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z). En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ). En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ). En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z). También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales. Suele representarse con una pequeña "equis" (x), una cruz (+), un círculo (o), un cuadrado o un triángulo. En relación a otras figuras, suele representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento. A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C.

• En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea no posee principio ni fin. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula. Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x e y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

• El plano, en geometría, es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: Tres puntos no alineados. Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas paralelas. Dos rectas que se cortan. Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego. Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

• Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º (90º por 4 en rectángulos). La suma de sus ángulos exteriores es 1080º (270º x 4). Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo.

• Existen dos conceptos de cuadrado, aunque muy relacionados entre sí: el geométrico y el algebraico. Un cuadrado, en geometría, es un polígono que tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales (todos rectos); en álgebra, el cuadrado de un número n se indica como n², expresión similar a n x n, y equivale al área de un cuadrado geométrico de lado n. En geometría euclidiana, un cuadrado es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es un paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un caso especial de rectángulo. De modo similar, al tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de rombo. Cada ángulo interno de un cuadrado mide 90 grados ó π / 2 radianes, y la suma de todos ellos es 360º ó 2π radianes. Cada ángulo externo del cuadrado mide 270º ó 3π / 2 radianes.

• Ente es una palabra inmensamente vaga de alguna cosa, o hasta una forma simbolizante de no importa qué cosa particular. Se puede responder que es cualquier objeto en general tanto real como posible y/o describirlo simplemente como la noción de un objeto que existe o puede existir. Por tanto una entidad es todo aquello que exhibe:
• Existencia real, no necesariamente material o animada.
• Autonomía de gestión en su organización interna y externa.
• Diferenciación e individualidad.

Tipos de entidades. A menudo la palabra entidad suele utilizarse para hacer referencia a: Místico (espíritus, arquetipos, deidades). Seres que poseen conciencia (animales inteligentes, inteligencia artificial avanzada). Seres que poseen sentimientos (animales)

Seres que poseen vida (plantas, hongos, bacterias). Sistemas dinámicos con características similares a la vida (virus, fuego, tormentas, cristales). Objetos sin vida, pero con presencia (computadoras, tótems y monolitos). Colectivos integrados por personas y patrimonios. Pueden tener personalidad jurídica, siendo titulares de derechos y obligaciones como sujetos individuales, o bien carecer de personalidad jurídica (comunidades de propietarios de edificios, montes en mano comunes).

EL TABLERO DE AJEDREZ REPRESENTA

EL CICLO LUNAR DE 32 DÍAS.

El tablero actual de ajedrez, representa un ciclo lunar de 32 días. Los cuadros blancos y negros simbolizan el día y la noche. Tiene analogía con los 32 centímetros del disco celeste de Nebra, que es, hasta el año 2005, la representación más antigua que se conoce de la bóveda celeste y de los fenómenos astronómicos. Se trata de un hallazgo arqueológico descubierto en el año 1999 en el monte Mittelberg, cerca de Nebra (estado de Sajonia Anhalt, Alemania). Es una placa de bronce, casi redonda, que pesa cerca de 2 kg y tiene aproximadamente un diámetro de 32 cm. Pertenece a una cultura de hace 3600 años cuyos conocimientos en astronomía provenían de Babilonia, ya que esta civilización mantuvo relaciones comerciales con los pueblos de Europa. Los expertos dicen que personifica el firmamento, con representaciones de elementos abstractos.

Los egipcios utilizaron un sistema muy antiguo para representar fracciones en medidas agrarias de superficie y volumen, basado en las divisiones entre dos de 1/2. Los signos de las fracciones mayores fueron tomados de las partes que componían el jeroglífico del Ojo de Horus. Una fracción egipcia es la suma de fracciones unitarias distintas, es decir, de fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos. Se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia. La tablilla de Ajmim (Akhmim), muestra como ejemplo cinco divisiones de una unidad de volumen llamada hekat (ḥq3t), comenzando con la unidad del hekat (similar a la fanega) valorada como 64/64. Las divisiones de esta unidad por 3, 7, 10, 11 y 13 son exactas. El escriba anota en la tablilla cinco respuestas en dos partes. La primera mitad de la respuesta es un cociente binario. El escriba dividió exactamente un hekat (64/64) entre 3, y encontró el cociente correcto: 21, con el resto correcto de 1; reescribió 21 como 16 + 4 + 1, de tal forma que (16 + 4 + 1)/64 se convierte en 1/4 + 1/16 + 1/64, una serie binaria. Además, el escriba ha escalado el resto uno a unidades de 1/320 (R), esto es, 1/(192) = (5/3) x 1/320 = (1 + 2/3) x 1/320. El escriba combinó el cociente y el resto en una sola expresión. La respuesta de 1/3 de hekat fue reescrita como 1/4 1/16 1/64 1 2/3 R. No se usaron signos de adición o de multiplicación, simplemente escribían la serie de fracciones de izquierda a derecha. El escriba demostró todas sus soluciones, multiplicando las cinco respuestas por los divisores iniciales para obtener el valor inicial de 64/64 de la unidad hekat. Describió también este método exacto de división con más detalle que Ahmes y los posteriores escribas del Imperio Medio: los pasos de Ahmes no incluían demostración; eran, sin embargo, idénticos a los usados en este papiro. Hana Vymalzova publicó en 2002 una nueva traducción de la tablilla, mostrando que las cinco divisiones eran exactas, analizando primero los pasos de la prueba y las cinco respuestas a 64/64. Vymalzova entonces actualizó la incompleta traducción de Daressy, de 1906, que sólo había encontrado como exactas las soluciones de 1/3, 1/4 y 1/10.

Cada fracción se representaba mediante una grafía del jeroglífico del ojo:

 

MATEMÁTICAS SAGRADAS.

Su origen se pierde en la noche de los tiempos y aunque todo apunta a que hay que buscarlo en la necesidad de contar del ser humano, no es un fenómeno simple, constatándose aún no hace mucho la existencia de tribus primitivas que solo distinguían entre 1, 2 y muchos. Por otra parte tampoco es probable que surgiese sólo en un lugar y después se extendiese. El conteo se debió iniciar mediante el uso de objetos físicos (tales como montones de piedras) y de marcas de cuenta, como las encontradas en huesos: el de Lebombo, con 29 muescas grabadas en un hueso de babuino, tiene unos 37.000 años de antigüedad y otro hueso de lobo encontrado en la antigua Checoslovaquia, con 57 marcas dispuestas en once grupos de 11 y dos sueltas, se ha estimado en unos 30.000 años de antigüedad. Ambos casos constituyen una de las más antiguas marcas de cuenta conocidas habiéndose sugerido que pudieran estar relacionadas con registros de fases lunares. En cuanto al origen ordinal algunas teorías lo sitúan en rituales religiosos. El paso hacia los símbolos numerales, al igual que la escritura, se ha asociado a la aparición de sociedades complejas con instituciones centralizadas constituyendo artificios burocráticos de contabilidad en registros impositivos y de propiedades. Su origen estaría en primitivos símbolos con diferentes formas para el recuento de diferentes tipos de bienes como los que se han encontrado en Mesopotamia inscritos en tablillas de arcilla que a su vez habían venido a sustituir progresivamente el conteo de diferentes bienes mediante fichas de arcilla (constatadas al menos desde el 8000 a. C.) Los símbolos numerales más antiguos encontrados se sitúan en las civilizaciones mesopotámicas usándose como sistema de numeración ya no solo para la contabilidad o el comercio sino también para la agrimensura o la astronomía como, por ejemplo, registros de movimientos planetarios. En conjunto, desde hace 5.000 años la mayoría de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy aunque la forma de escribir los números (si bien todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa. Básicamente la podemos clasificar en tres categorías:

1. Sistemas de notación aditiva. Acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios hasta completar el número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una determinada posición (de más a menos). De este tipo son los sistemas de numeración: Egipcio, hitita, cretense, romano, griego, armenio y judío.
2. Sistemas de notación híbrida. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se representa con 5 símbolos de 100, en éstos se utiliza la combinación del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeración: chino clásico, asirio, armenio, etíope y maya. Este último utilizaba símbolos para el "1", el "5" y el "0". Siendo este el primer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (Año 36 a.C) ya que el de los babilonios solo se utilizaba entre otros dígitos.
3. Sistemas de notación posicional. La posición de las cifras nos indica si son unidades, decenas, centenas,... o en general la potencia de la base. Solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: El sistema Chino (300 a. C.) que no disponía de 0, el sistema Babilónico (2000 a. C.) con dos símbolos, de base 10 aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin "0" hasta el 300 a. C.

Papiro de Ahmes

EL TABLERO DE AJEDREZ.

El tablero de ajedrez es un cuadrado subdividido en 64 casillas o escaques iguales (8 × 8), también cuadradas, alternativamente de color claro y de color oscuro. Cada jugador se sitúa de cara al ajedrecista contrincante, colocando el tablero de manera tal que cada jugador tenga una casilla blanca en su esquina derecha.

Los elementos básicos del tablero son:

• Fila. Es cada una de las ocho líneas de ocho casillas que se forman alineando éstas horizontalmente respecto a los jugadores. Se nombran con números del 1 al 8, comenzando desde la primera fila con respecto al bando de las piezas blancas.
• Columna. Es cada una de las ocho líneas de ocho casillas que se forman alineando éstos verticalmente respecto a los jugadores. Se nombran con letras minúsculas de la a a la h, comenzando desde la primera columna izquierda con respecto al bando de las piezas blancas.
• Diagonal. Es cada una de las 26 líneas que se forman agrupando las casillas diagonalmente. Las dos diagonales mayores tienen ocho casillas.
• Centro. El centro del tablero son los cuatro escaques centrales. Por extensión, a veces se incluyen los 12 que rodean a esos cuatro.
• Esquinas. Cada uno de las cuatro casillas ubicadas en las esquinas del tablero.
• Bordes. Las dos columnas y filas situadas el lado de las letras y números de notación.

Un tablero puede tener los números y letras para identificar las filas, columnas y casillas, con el fin de registrar el desarrollo de las partidas mediante la notación algebraica, que es la notación oficial. Es frecuente en el mundo del ajedrez utilizar este sistema para poder reproducir y comentar las partidas. Debe, sin embargo, dejarse constancia de que muchos autores y especialistas han empleado o prefieren continuar utilizando la llamada notación descriptiva.

EL TABLERO DE AJEDREZ ES UN CUADRILÁTERO.

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º (90º por 4 en rectángulos). La suma de sus ángulos exteriores es 1080º (270º x 4). Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo. Fue una de las primeras formas geométricas usadas en la división de la tierra. El comienzo de la agricultura se encuentra en el período Neolítico, cuando la economía de las sociedades humanas evolucionó desde la recolección, la caza y la pesca a la agricultura y la ganadería. Las primeras plantas cultivadas fueron el trigo y la cebada. Sus orígenes se pierden en la prehistoria y su desarrollo se gestó en varias culturas que la practicaron de forma independiente, como las que surgieron en el denominado Creciente fértil (zona de Oriente Próximo desde Mesopotamia al Antiguo Egipto), las culturas precolombinas de América Central, la cultura desarrollada por los chinos al este de Asia. Se produce una transición, generalmente gradual, desde la economía de caza y recolección a la agrícola. Las razones del desarrollo de la agricultura pudieron ser debidas a cambios climáticos hacia temperaturas más templadas; también pudieron deberse a la escasez de caza o alimentos de recolección, o a la desertización de amplias regiones. A pesar de sus ventajas, según algunos antropólogos, la agricultura significó una reducción de la variedad en la dieta, creando un cambio en la evolución de la especie humana hacia individuos más vulnerables y dependientes de un enclave que sus predecesores. La agricultura permitió mayor densidad de población que la economía de caza y recolección por la disponibilidad de alimento para un mayor número de individuos. Con la agricultura las sociedades van sedentarizándose y la propiedad deja de ser un derecho sólo sobre objetos móviles para trasladarse también a los bienes inmuebles, se amplía la división del trabajo y surge una sociedad más compleja con actividades artesanales y comerciales especializadas, los asentamientos agrícolas y los conflictos por la interpretación de linderos de propiedad dan origen a los primeros sistema jurídicos y gubernamentales.

PERIODOS GLACIALES.

Periodos de la historia terrestre en los que tuvo lugar un enfriamiento extenso y significativo de la atmósfera y de los océanos. La Tierra entró por última vez en uno de estos periodos glaciales hace unos 2,5 millones de años. Pese a que el hielo se retiró de Norteamérica y de Europa hace unos 10.000 años —al final del pleistoceno— muchos científicos piensan que el periodo glacial cuaternario no ha concluido todavía. También hay indicios de periodos glaciales anteriores. Desde la época de las primeras formas de vida registradas en la Tierra (unos 3.600 millones de años atrás), la temperatura media de la superficie del planeta ha sido de unos 20 °C, con una incertidumbre de unos 5 °C. Durante más del 90% de este tiempo, la Tierra ha estado libre de periodos glaciales y no han existido grandes glaciares fuera de las montañas altas. Los periodos glaciales se producen más o menos cada 150 millones de años y duran unos millones de años. Aunque la causa de los periodos glaciales sigue siendo tema de controversia, una explicación basada en observaciones astronómicas de la galaxia ha ganado credibilidad en los últimos años. La Tierra y el Sistema Solar están situados de forma asimétrica en uno de los brazos de la Vía Láctea. La galaxia rota cada 300 millones de años y lleva al Sistema Solar a través de regiones más o menos densas de polvo interestelar con campos gravitatorios y magnéticos variables. Como en los procesos de mareas —se producen dos fases de perturbación en cada ciclo completo— cada 150 millones de años se produce un cambio muy ligero en el entorno galáctico, alterando posiblemente el clima de la Tierra.

ARDI O LUCY, ¿LAS MADRE DE LA HUMANIDAD?

Ardi

Lucy

Ardi es el esqueleto restos fosilizados de una mujer Ardipithecus ramidus, Estimado a partir de la datación radiométrica a de 4,4 millones de años. Los fósiles de A. ramidus se encontró por primera vez en Etiopía en 1992, Pero que ha tomado 17 años para evaluar su importancia. Ardi es más primitivo homínido que el conocido Australopithecus esqueleto, Lucy. Permanente a las 4 pies de alto (120 cm) de alto y pesa alrededor de 110 libras (50 kg), Ardi fue ligeramente menor que Lucy, pero casi el doble de su peso. El esqueleto fue descubierto en un sitio llamado Aramis en las áridas tierras baldías cerca del Valle bajo del Awash en Etiopía en 1994. Aunque no se sabe si las especies Ardi ya se habían convertido en Homo sapiens. El descubrimiento es de gran importancia, ya que Ardi es el más antiguo y conocido homínido fósil. El descubrimiento fue realizado por un equipo de científicos dirigido por el antropólogo de UC Berkeley, Tim D. White y fue analizado por un grupo internacional de científicos que incluía Owen Lovejoy la partida del equipo de la biología. El 1 de octubre de 2009, la revista Ciencia publicó un de acceso libre colección de once artículos, que detalla muchos aspectos de la A. ramidus y su entorno. Los investigadores deducen de la forma de la pelvis Ardi y las extremidades y la presencia de su oponible dedo gordo del pie que era un bípedo facultativo: bípedo cuando se mueve sobre el terreno, pero cuadrúpedo cuando se mueve en las ramas de los árboles. Ardi tenía una capacidad para caminar más primitiva que los homínidos más tarde, y no podía caminar o correr largas distancias. Los dientes sugieren omnívora, Y son más generalizadas que las de los simios modernos. La palabra Ardi significa "planta baja" y la palabra Ramid significa "raíz" en la Idioma afar. Lucy (también recibió un segundo nombre (Amárico) Nombre: dinqineš, O "Dinkenesh", que significa "Eres hermosa" o "eres maravilloso") Es el nombre común de AL 288-1, el esqueleto casi el 40% completo de un Australopithecus afarensis espécimen descubierto en 1974 en Hadar en la Valle de Awash, de Etiopía's Depresión de Afar. Lucy se estima que vivían 3,2 millones de años. El descubrimiento de este homínido era importante como el esqueleto muestra evidencia de la capacidad de cráneo pequeño similar a la de monos y de bípedo a pie en posición vertical similar a la de los seres humanos, Proporcionando más evidencia de que la bipedación precedida aumento de tamaño del cerebro en la evolución humana. En 1994, un nuevo homínido, Ardi Se encontró, haciendo retroceder la fecha de homínidos más antiguos conocidos a 4,4 millones de años. Los detalles de este descubrimiento fueron finalmente publicados en octubre de 2009.

PINTURA RUPESTRE.

Tableros del Arte Rupestre.

El arte prehistórico abarca todas las formas artísticas desarrolladas durante la Prehistoria: Paleolítico, Mesolítico y Neolítico. Este arte tiene en Occidente sus comienzos aproximadamente sobre el año 25.000 a.C., a principios del Paleolítico Superior, aunque hay muestras de manifestaciones artísticas anteriores propias de la etapa Musteriense del Paleolítico Medio. Alcanza sus momentos de mayor importancia durante el período Magdaleniense, hacia unos 15.000 a.C. Tienen gran importancia las manifestaciones artísticas de tipo figurativo: pintura y escultura. Las muestras más primitivas de arte rupestre están constituidas por huellas de manos cercadas con trazos rojos, ocres, negros o amarillos; series de puntos, de discos; ejecución de simples siluetas, seguidas luego de dibujos lineales. Todo ello realizado todavía con tintas planas. La evolución paulatina de este arte condujo al apogeo pictórico de la época magdaleniense caracterizado por el triunfo de la policromía y el naturalismo, así como por el aumento de temas y obras realizadas. No obstante, una característica de la pintura del Paleolítico es la ausencia casi absoluta, salvo muy contadas excepciones, de la figura humana. Lo que sí existe es la representación de figuras antropomorfas vagamente insinuadas, siendo también frecuentes los dibujos de trampas, líneas y signos tectiformes (al que se le supone un significado y tienen forma de techo o cabaña).

RITOS Y MAGIA EN EL ARTE PREHISTÓRICO.

Tablero del Arte Rupestre.

Durante mucho tiempo se tendió a considerar que las manifestaciones artísticas de los hombres primitivos debían tener un sentido práctico. Además, las pinturas rupestres se hallan en cuevas de difícil acceso, y la estatuaria que nos ha llegado pertenece a dioses votivos. Se considera que el hombre primitivo, siempre ha tenido fuertemente arraigado en su vida un omnipotente sentido mágico, con el que ha pretendido dominar las fuerzas naturales adversas, o potenciar las favorables. La magia es la forma que tenía el hombre de enfrentarse a esas fuerzas naturales y ponerlas a su servicio. Los hombres primitivos creían, que poseyendo el símbolo o la representación de las cosas, se poseía la misma cosa. Pero la pintura prehistórica no narra, nuestra la realidad inmediata al ser humano, aquella que el hombre necesita dominar para poder subsistir. No hay nada de superfluo en la pintura, es consecuencia de la necesidad más que del disfrute. No se encontró mejor explicación que atribuir la presencia de arte a la presencia de ritos religiosos, y en la medida en que la religión prehistórica pretende el favor de los dioses a la magia. Hoy en día eso no está tan claro. El arte aparece con los hombres modernos, el cromañón, que según Juan Luis Arsuaga se diferencian de los neandertales, fundamentalmente, en su capacidad simbólica, la cual le permite crear sociedades más complejas, lo que les dará una ventaja decisiva en el mismo nicho ecológico. A la larga el neandertal se extinguiría. Esta capacidad de crear símbolos, como adornos, permiten a los cromañones reconocerse entre sí en cualquier parte y circunstancia, y ayudarse en caso de necesidad. El adorno identifica al individuo como perteneciente a la misma especie y a la misma cultura. Es de suponer que la mayor parte de este arte estuviera hecho con materiales biodegradables, por lo que han desaparecido, y sólo nos han llegado los que estaban hechos en materiales más duraderos (piedra y metal) y los más protegido de las inclemencias del tiempo (pinturas rupestres).

MAGIA Y NÚMEROS. EL 4.

Siguiendo el sistema tradicional de sustituir números por letras, el nombre de María Antonieta, reina de Francia, (la 13, número generalmente considerado fatídico. Pero en la prueba del 9, el resultado de 13 es 4. El 4 no es considerado un número de mala suerte, sin embargo, María Antonieta se casó con el Delfín el 16 de mayo de 1770; 16 es múltiplo de 4 o, dicho de otro modo, es 4 veces 4. Fue la desdichada esposa de Luis XVI (otra vez 16 que es 4 veces 4) Y nació un 2 de noviembre (2 + 11 = 13, es decir 4 según la prueba del g). Su vida infeliz culminó en la guillotina el 16 de octubre (nuevamente aparece el 16, 4 veces 4). Por el contrario, en algunos cultos de macumba que aún hoy se practican en el centro y nordeste de Brasil, las velas se colocan de a 4 en la ceremonia, 4 son los floreros que se ubican debajo de la figura de cada santo y el acompañamiento de percusión del ritual sólo puede ser realizado por 1 o 4 músicos. Las oficiantes pueden bailar- libremente hasta llegar al número de 4 y se, hace necesaria una ceremonia previa antes que puedan incorporarse nuevas bailarinas. Asimismo, para honrar a la diosa Yemanjá, se acostumbra sí arrojar 4 coronas de flores al mar. En algunas prácticas de vudú o vodóo de la República Dominicana, también el ritual es iluminado por grupos de 4 velas y algunos creyentes enlazan una cinta 4 veces sobre su brazo izquierdo. Cuatro eran las invocaciones a los atlantes de Tula antes de la llegada de los españoles y aún hoy subsiste el hábito de prolongar durante 4 días la fiesta de homenaje al mar en el istmo de Tehuantepec. En la antigüedad, la mayoría de los pueblos se referían a Dios mediante nombres de cuatro letras como el Deus latino o el alemán Gott. Para los árabes, lit belleza femenina se analizaba de 4 en 4 entre los componentes del cuerpo de la hembra. Cuatro son las series o clases (le cartas del Tarot, 4 las principales casas del horóscopo en el zodíaco y 4 los evangelistas (San Juan, San Lucas, San Marcos y San Mateo). Para los masones los 4 elementos básicos para el hombre (tierra, aire, fuego y agua) se hallan por gnomos, sílfides, dragones y sirenas. Todo el Tarot se cifra alrededor del 4. Tanto en los naipes franceses como en los españoles hay 4 palos y 4 cartas de cada número. El arcano número 4 del Tarot representa la piedra cúbica, es decir, la base del mundo. El hombre se halla rodeado de 4 animales, que simbolizan sus 4 edades (infancia, juventud, madurez, vejez). Cuatro son las estaciones del año, 4 los cuartos o fases de la luna y 4 los puntos cardinales. Si nos remitimos al profético libro del Apocalipsis, encontramos que son 4 las partes en las que se divide la tierra, 4 las bestias con ojos, 4 los caballos, 4 los ángeles del Éufrates. El 4, número activo, es la tétrada y así como el 1 simbolizaba al Padre, el 2 a la Madre y el 3 al Hijo, este número simboliza a la familia. Como es la repetición de la unidad y también de la díada (2), es el producto tanto de uno como del otro. De este modo genera la casta, la tribu, la familia, la reproducción. El 4 equivale en hebreo a Daleth y en griego a Delta, cuyo equivalente en castellano es la letra D. Se corresponde con el mes de abril y con el día miércoles. Para los pitagóricos era de tal modo sagrado que juraban en su nombre. Para los hindúes había 4 principios inferiores (las pasiones, el cuerpo inferior, el cuerpo astral y la esencia de la vida) y 4 clases de ajusticiamiento: lapidación, estrangulamiento, cremación y decapitación. El cuaternario, por duplicar al 2, simboliza la doble dualidad, la doble dialéctica. Es el número de la cruz cósmica, los extremos del madero de la crucifixión y las puntas de la cruz gamada. En la Cábala, es el número del planeta Júpiter y para la religión egipcia denotaba al dios Horus, hijo de Isis y Osiris.

El Número 8.

Simboliza la igualdad. Según Pitágoras, designaba la ley natural, porque es el primero que puede dividirse en 2 números cuadrados iguales (4 y 4). Se corresponde con el mes de agosto y es el número favorable de los signos de acuario y capricornio. En hebreo es Heth y en griego Eta, cuyo valor es similar a nuestra CH. La tradición popular asigna que soñar con él es un aviso de futura pérdida de dinero. Para los griegos, el octavo día era el mejor para encontrarse con los buenos amigos, pero para los egipcios, el día 8 de cada mes estaba relacionado con el pago de diezmos o impuestos. Se le considera habitualmente con un día próspero, salvo para cuestiones financieras. En los arcanos mayores del Tarot señala a Temis, el equilibrio. En las antiguas creencias, este número ha tenido singular importancia. El griego Dionisios lo tenía por valor sagrado pues había nacido en el octavo mes. Los hijos varones de los judíos eran circuncidados en el templo al octavo día de su nacimiento y en la fiesta de Yanucah se encendían 8 velas. Ocho fueron las almas salvadas del Arca de Noé y él fue el octavo que salió del arca. Su propio nombre significa «ocho veces ocho». Por otra parte, el número de Jesucristo es 888 y se opone al célebre 666 del Anticristo. A través de la escritura sánscrita y luego de la árabe, su trazo ha llegado a nosotros como un simbolismo gráfico muy similar al de infinito: 8 0c

Esto resulta lógico pues se considera que simboliza la unión del espíritu con la materia. En geometría corresponde al octaedro (tercer poliedro regular). En la Cábala corresponde al planeta mercurio.

EL NÚMERO 32.

Para los hebreos era el símbolo de la sabiduría porque 32 fueron los caminos trazados por Abraham para llegar a ella. Treinta y dos son las cartas que se leen con mayor frecuencia y, según la tradición, 32 los pilares sagrados sobre los que se asentaba la ciudad de Babilonia.

EL NÚMERO 64.

Para los discípulos de Pitágoras representaba el difícil camino que da acceso a la perfección. Se compone de 6 (el vínculo, la unión) y 4 (la casta, la reproducción) y su suma da 10 (la perfección). Es la potenciación de 8 (8 X 8) que significa la igualdad, por lo que interpretaban estos símbolos como el camino que se inicia y se reproduce en la igualdad y el equilibrio para llegar a la perfección. Además, 64 son los hexagramas de los que se compone el I-Ching.

EL NÚMERO ÁUREO.

El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas. Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

EL SENET, EL JUEGO DE MESA

MÁS ANTIGUO EN EGIPTO.

El Senet es un juego de mesa originado en el Antiguo Egipto y muy famoso en esa época. Es uno de los juegos de mesa más antiguos que se conocen junto con el Oware (también llamado Wari entre otros muchos nombres dependiendo del lugar) o el Juego Real de Ur.

Nefertari jugando al Senet.

Pintura en la tumba de la reina egipcia Nefertari (siglo XIII a. C.)

La referencia conocida más antigua al Senet está pintada en una pared en la tumba de Hesy, durante la dinastía III (c. 2650 a. C.), que lo muestra siendo jugado con siete peones por jugador (en otras pinturas se representa con diez peones por jugador). Después hay varias referencias más en diversas tumbas como en la de Nefertari que aparece en una pintura de su tumba jugando al senet; Tutanjamón (Tutankamón) tenía cuatro Senet en su tumba para jugar durante la eternidad; Sennedyem aparece, junto a su esposa Inyferti, jugando al Senet en su tumba. Este juego se consideraba una referencia al sortilegio 17 del Libro de los Muertos, ya que representa el Juicio de Osiris, la victoria del difunto y su entrada en la Duat. Este juego guarda ciertas similitudes con el Juego real de Ur y el backgammon (éste derivado del juego de la tábula romana), por lo que se cree que el Senet puede ser un predecesor de éste último y derivado del Juego real de Ur. Aunque no está confirmada ninguna de las dos teorías es bastante probable que así sea. Se cree que el juego gozaba de cierta importancia, debido al descubrimiento de varios tableros en tumbas importantes, como los cuatro juegos del Senet que fueron encontrados en la tumba de Tutankamon. Incluso hay arqueólogos que afirman que tenía cierto carácter mágico o simbólico y que los egipcios creían que debían enfrentarse a alguna deidad jugando al mismo en su tránsito hacia el más allá, teniendo mucho que ver el resultado de la partida con su destino en el mismo. Esto último se deduce porque en algunas tumbas se representa al difunto jugando contra un contrincante invisible y por las referencias en el Libro de los Muertos. Era posiblemente el juego más popular del Antiguo Egipto, ya que se han encontrado juegos de Senet o partes del mismo en un gran número de tumbas, tanto de nobles como del pueblo llano, y hay varios frescos que representan a faraones o nobles y esclavos jugando al mismo. Los tableros, así como las fichas, se fabricaban en una gran variedad de materiales, probablemente dependiendo del poder adquisitivo del comprador. De este modo podemos encontrar piezas de barro cocido, de metal, de hueso, de piedras semipreciosas como el Lapislázuli. Con los tableros sucede lo mismo, pudiendo encontrar una gran gama desde el barro cocido hasta maderas nobles talladas y policromadas, o nácar, entre otros materiales, incrustado o formando las casillas.

OBJETIVO DEL JUEGO.

El objetivo del Senet es sacar tus piezas del tablero antes que el adversario, siguiendo una serie de reglas, avanzando tus propias fichas y capturando y bloqueando las piezas del adversario. Aunque no han llegado hasta hoy día sus reglas, probablemente porque era tan popular que prácticamente todo el mundo sabía jugar o se transmitían de modo oral, hay varios arqueólogos que las han reconstruido gracias a sus investigaciones (G. Jequier, Edgar B. Pusch y Timothy Kendall), con el resultado de reconstruir varias versiones, que bien pudieron convivir (al igual que sucede hoy día con otros juegos de mesa que tienen varias formas de jugarse).

DESCRIPCIÓN DEL TABLERO, LAS FICHAS Y EL USO DE LAS "TABLILLAS".

Senet de Amenhotep III, del Museo Brooklyn

Es un juego para dos contrincantes y consta de un tablero de tres filas paralelas con diez casillas cuadradas cada una y, de un número de piezas, que dependiendo de la variante del juego, pueden ser entre diez y veinte en total. Normalmente las piezas de ambos jugadores eran muy diferentes, siendo las de uno de forma cónica y las del otro de forma cilíndrica entallada y, a su vez, unas de color oscuro y otras de color claro, aunque parece ser que el color dependía más del material del que estaban hechas y era la forma la que distinguía las de un jugador u otro, siendo las cónicas ligeramente más altas. Se han encontrado fichas de colores blanco, azul, negro, marrón, rojo, verde. El orden de los cuadrados es del 1 al 10 de izquierda a derecha en la primera fila, del 11 al 20 de derecha a izquierda en la segunda fila y, del 21 al 30 de izquierda a derecha en la tercera fila, siendo este el sentido que deben seguir las fichas de los dos jugadores al avanzar saliendo sus 10 fichas de la primera fila colocadas alternativamente ocupando esta por completo y parte de la segunda en la modalidad de 14 fichas. Existen varias casillas especiales que son la 15, 26, 27, 28, 29 y 30 (estas casillas especiales pueden contener dibujos o símbolos jeroglíficos). Si un peón cae en la casilla 27 debe comenzar desde la casilla 15 como sucede en algunas casillas del Juego de la Oca. Las casillas 26, 28, 29 y 30 son casillas donde las fichas están protegidas pero requieren tiradas especiales para extraer las fichas del tablero. Estas tiradas especiales consisten en que la ficha debe pasar obligatoriamente por la casilla 26. Después tiene un máximo de dos tiradas para salir del tablero. De tal forma, en la casilla 26 puede sacar un 1, 2, 3 o 4. Y la siguiente vez que mueva, tiene que sacar el número exacto para salir. Si no puede hacerlo, esa ficha no se mueve. No se utilizan dados para determinar los avances de las fichas, sino cuatro pequeñas tablillas que por un lado no tienen nada y por la otra cara son negras o tienen motivos dibujados o tallados para poder distinguirlas bien: según las caras que caigan mirando arriba, se decide la movida; si cae una blanca mirando arriba, se mueve un lugar, si caen dos, se mueven dos, etc. Si todas caen boca abajo, se mueven seis. No existe el 5 como resultado de estas tablillas. Se tienen en consideración las caras que quedan hacia arriba y los correspondientes resultados se muestran en la tabla. Siempre que un jugador obtenga como resultado 1, 3 o 6, siguen teniendo turno de juego y, tras mover el peón que desee o pueda, tiene otra tirada y así hasta que saque un 2 o un 4.

MOVIMIENTOS Y CAPTURAS.

Cuando dos fichas del mismo jugador se encuentran en dos casillas consecutivas cualesquiera, se protegen mutuamente y no pueden ser capturadas por el adversario; cuando son tres fichas del mismo jugador, en vez de dos, forman una barrera que el contrincante no puede saltar, pero él sí. La captura de una ficha del contrario consiste en intercambiar la posición de ésta por la de la ficha que la captura, y sólo puede hacerse cuando no está protegida y coincidiendo la última casilla de avance en la casilla de la pieza que se va a capturar. Cuando no se puede avanzar hacia adelante (barrera o fichas protegidas) y sí hacia atrás, es obligatorio hacerlo hacia atrás.

Posición inicial de juego. Aquí se puede ver cómo se disponen las fichas para comenzar la partida, en la variante de cinco peones por jugador, y las casillas especiales coloreadas: en verde las que protegen, en azul la que obliga a retornar a la roja, si se cae en ella.	Dirección de juego. En este dibujo podemos ver en qué dirección se mueven las fichas en el tablero, salvo cuando no pueden hacerlo en este sentido, pero si en el inverso, en cuyo caso están obligadas a moverse hacia atrás.

Fichas protegiéndose. Si es el turno de las fichas oscuras (cónicas) y éstas sacan un 2 o un 3, no podrán mover hacia adelante, ya que las fichas claras (cilíndricas) que están contiguas se protegen, y en este caso la ficha oscura tendría que mover hacia atrás, ya que puede hacerlo; en ese caso, sacando un 2 capturaría la ficha clara atrasada, pero le perjudicaría ya que al intercambiarlas quedaría por detrás. La misma ficha, con un 4 o un 6, podrá saltar por encima, ya que no hay barrera. Por supuesto, si saca un 1 puede mover a la casilla siguiente, porque está despejada. Fichas en barrera. Si es el turno de las fichas oscuras (cónicas), no podrán mover hacia adelante, a menos que saquen un 1, ya que las tres fichas claras (cilíndricas) que están contiguas forman una barrera que no deja pasar al contrario, pero si a las suyas. En este caso, la ficha oscura tendría que mover hacia atrás, pero sólo podría hacerlo con un 4 o un 6, ya que las fichas claras más atrasadas se están protegiendo, pero no hacen barrera. Si no fuera así, y no tuviese más fichas ese jugador, tendría que pasar turno.

EL TABLERO DE AJEDREZ ES GEOMETRÍA.

“El juego del ajedrez no es meramente un pasatiempo ocioso; algunas cualidades muy valiosas del espíritu, útiles en el curso de la vida, se adquieren y fortalecen con él”. Benjamín Franklin (Moral del ajedrez) 1779.

La relación entre ajedrez y las ciencias es muy estrecha; quizás porque el ajedrez está regido por leyes y teorías tales como: dominio del centro, desarrollo en la apertura, centralización de las piezas. Todas estas leyes, basadas en la experiencia y comprobación, dotan al juego de carácter científico. El mismo diseño del tablero es pura geometría. Un cuadrado de ocho cuadraditos por cada lado. Las ocho filas y las ocho columnas que se forman en el tablero, recuerdan las abscisas y coordenadas de una gráfica matemática. Dicha estructura indujo a Philip Stamma (jugador y teórico sirio del siglo XVIII) a inventar el sistema de notación algebraica; esta notación es puramente cartesiana. Siguiendo con el tema de la geometría, podríamos comentar que algunos lances del juego toman definiciones geométricas: triangulación, cuadrado del rey, dominio de columnas (verticales), dominio de filas (horizontales), dominio de las diagonales, etc. Resumiendo, podemos decir que sólo con mirar superficialmente el tablero, nos damos cuenta que ajedrez y geometría están intrínsecamente relacionados.

AJEDREZ Y CIENTÍFICOS.

En el mundo ajedrecístico, se puede admitir como verdadera la cita de Henri Poincare: “Todo buen matemático podría ser un buen jugador de ajedrez y viceversa “. Este es el caso de Emmanuel Lasker, segundo campeón mundial de la Historia. Era profesor de matemáticas de la Universidad de Breslau y autor de tratados matemáticos como por ejemplo: “Sobre la teoría de los módulos y los ideales”. También Janisch fue un gran matemático y al mismo tiempo uno de los jugadores más fuertes de su tiempo. Además fue autor de una famosa variante de la apertura española que lleva su nombre. Por otra parte, algunos de los más notables matemáticos de todos los tiempos como el alemán Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) o el suizo Leonhard Euler (1707 – 1783), además de ser grandes aficionados, se ocuparon de famosos problemas relacionados con el universo ajedrecístico. Dichos problemas son conocidos con los nombres de las ocho damas (Gauss) y del caballo (Euler). El problema de las ochos damas trata de colocar estas piezas en un tablero de manera que no se ataquen entre sí. Este problema fue propuesto por el Dr. Nauck al ilustre Gauss en el año 1850. Gauss hallo primero setenta y dos soluciones posibles y luego setenta y seis. Pero el problema quedó totalmente resuelto por el mismo Dr. Nauck (a pesar de su ceguera), el cual halló la solución que hoy se entiende definitiva: noventa y dos formas distintas de colocar las damas. El problema del caballo consiste en que esta pieza recorra todas las casillas del tablero con la condición de pasar una sola vez por cada una de ellas. Parece que este problema ya era conocido en la antigüedad y que algunos monjes de la India eran capaces de resolverlo sin mirar el tablero. Como quiera que sea, fue Euler quien demostró matemáticamente su solución. Después Janisch halló otra solución aplicable a un cubo que tuviese un tablero de ajedrez en cada cara. También fue muy aficionado al ajedrez, el último sabio universal, Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 – 1716), el cual decía: “El ajedrez es demasiado juego para ser ciencia y demasiada ciencia para ser juego”. En su libro “Recreations Mathematiques et Phisiques” publicado en 1708, J. Ozanam, matemático francés del siglo XVIII, dice lo siguiente: “Un método infalible de vencer al ajedrez no es teóricamente imposible. Sin embargo, nadie, hasta el presente lo ha descubierto, y creo que nunca se descubrirá, porque implicaría manejar un número demasiado elevado de combinaciones”. ¿Se hubiera atrevido J. Ozanam, a buscar ese método, con los potentes programas que tantos científicos actuales dedican al ajedrez? En este tema son asombrosos los resultados obtenidos por el británico John Nunn, también matemático, además de gran maestro en ajedrez, que investigando con ordenadores, ha hecho que la Fide cambie algunas normas relativas al número máximo de jugadas permitidas en algunos finales de excesiva dificultad para las tradicionales cincuenta jugadas: dama contra dos alfiles o contra dos caballos. Otro problema relativo al cálculo de posibilidades aparece en el indispensable libro de Maizelis sobre finales de peones. ¿De cuántos caminos diferentes dispone un rey para llegar de e1 a e8 en 7 jugadas? Aventure un número antes de consultarle a Gauss la solución. Es destacable también, la aportación del ingeniero y matemático cántabro Leonardo Torres de Quevedo (1852 - 1936) quien además de diseñar dispositivos de control remoto, construyo un autómata capaz de jugar el final de torre y rey contra rey. Siguiendo en el ámbito matemático, nos parece de sumo interés y muy sutil la observación de Emile Borel (1871 – 1956), eminente autor de obras como el Tratado sobre el cálculo de probabilidades y sus aplicaciones, que nos dice: “Hay también muy hermosas combinaciones en el juego del ajedrez. Es cierto que este juego, incluso para aquellos que lo conocen poco, procura satisfacciones estéticas. Ellas son inferiores, a mi juicio, a las de las matemáticas, pero esta opinión se debe probablemente a que he dedicado menos tiempo a jugar al ajedrez, que a trabajar en las matemáticas; y es así mismo probable que un jugador que hubiera hecho lo contrario, opinara justamente al revés”. Son muchos los matemáticos, que en un momento u otro de su vida, se han sentido atraídos por el ajedrez, pero pasemos a otros campos de la ciencia. En el libro del famoso biólogo A. Ducrocq, autor de la Lógica de la vida, nos escribe lo siguiente: “Los aminoácidos, son a la vez ácidos y bases..., es como la dama en el juego del ajedrez, con respecto a las torres y a los alfiles”. Otro biólogo y uno de los mejores ajedrecistas de todos los tiempos, fue el Dr. Siegbert Tarrasch, que en una de sus poéticas citas nos confiesa: “Yo siempre he sentido un poco de lástima, hacia aquellas personas que no han conocido el ajedrez. Justamente, lo mismo que siento por quien no ha sido embriagado por el amor. El ajedrez, como el amor, como la música, tiene la virtud de hacer feliz al hombre”. Otro biólogo enamorado del ajedrez, fue nuestro Santiago Ramón y Cajal, que nos cuenta en su obra “Mi infancia y juventud”: “Llegué a jugar sin ver el tablero. Excusado es decir cuántos libros del aristocrático recreo llegaron hasta mis manos, y hasta caí en la inocencia de enviar a las publicaciones extranjeras, soluciones de problemas”.

AJEDREZ Y MATEMÁTICAS.

"Las matemáticas comparan los más diversos fenómenos y descubren las analogías secretas que los unen. "Joseph Fourier (1768-1830).

¿Cuál es el origen del ajedrez? Como dijimos antes, no se sabe con certeza cuál es su origen. Se dan algunas de las leyendas que lo han motivado, sin embargo la más conocida de ellas es la del rey que ofrece, al que inventara un juego que le agradece, todo lo que este quisiese. El inventor le dijo a su Rey que, como forma de pago, él quería tener suficiente trigo como para poner en la primera casilla un grano, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta y así sucesivamente, duplicando la cantidad de la casilla anterior hasta llegar al último de los escaques. El Rey ordenó inmediatamente que se hiciera el pago, llamó al matemático de la corte para que calculara el número de granos que debía entregar y este después de hacer algunos cálculos le dijo a su Rey: "Su Majestad, el número total de granos es: 5

1 + 2 + 22 + 23 +... + 264 = 265 - 1

Y en todo el reino no hay suficiente trigo ni lo habrá con muchos siglos de cosechas, para satisfacer el pago". Este es un número de veinte dígitos en el sistema decimal y para efectuar el pago el Rey debería llenar de trigo un cubo con 7 kilómetros de arista. La parte poco conocida de la leyenda es la forma en que el matemático, viendo en problemas de honor a su Rey, le salvo de esta situación. Él le propuso al inventor que le pagarían lo que le pedía pero además lo que se obtuviera de agregar sin fin, más y más casillas al tablero. El inventor aceptó esta nueva forma de pago ya que sin duda obtendría una mayor cantidad de trigo, pero cuando hicieron los cálculos para ver la cantidad T de granos, se obtuvo que:

T = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +...

T = 1 + 2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 +...)

T = 1 + 2T

Y resolviendo la última ecuación obtenemos que T = - 1, es decir el inventor le quedaba debiendo ¡un grano de trigo al Rey! Puede usted dar ¿una explicación a esto? Esta leyenda pone de manifiesto que desde sus inicios las matemáticas y el ajedrez están relacionadas, esto lo vemos en múltiples ocasiones en la literatura, por ejemplo encontramos Reconstrucción y Probabilidad en, Geometría en, Álgebra Lineal en, Teoría de Números, Estadística, Álgebra y mucho más. Además se hacen competencias internacionales de resolución de problemas matemáticos en el ajedrez. Se ha preguntado de cuántos movimientos es la partida más larga posible6 o cuántas partidas distintas de ajedrez existen, sin analizar su calidad. Preguntas como estas han provocado gran discusión desde inicios de siglo, la aparición de los ordenadores o computadoras han ayudado a responderlas. La partida más larga posible es de 5899 movimientos y 10 18900 es la cantidad de partidas diferentes. A pesar de que son números extraordinariamente grandes, algunos ajedrecistas han optado por sugerir ligeros cambios a las reglas que conocemos, esto con el fin de poner a prueba a la mente humana y porque no a las computadoras. El cubano y campeón mundial José Raúl Capablanca, sugería cambiar el tablero de 8×8 por uno de 10×10, otros intercambiar de posición el alfil y el caballo, pero de los que más aceptación han tenido es el denominado ajedrez CIRCE7, en donde las piezas que son comidas se colocan en su casilla de origen, es decir las piezas no desaparecen del tablero, en esta modalidad las posibilidades de movimiento se incrementan demasiado y la solución de problemas se convierte en un verdadero dolor de cabeza. Desde sus orígenes ya el ajedrez ha sufrido cambios, el enroque, el peón al paso, los movimientos del alfil y de la dama entre otros. Particularmente creo que más cambios como estos se harán tarde o temprano, porque el ajedrez como arte que es, al igual que la música y la pintura, va creciendo y madurando. Grandes matemáticos como George Pólya, Lindelöf, Carl Gauss, L. Euler, Landau y Donald E. Knuth (creador del TEX), entre otros, se han interesado por problemas matemáticos en el ajedrez. Un problema que ha motivado muchos estudios es el de encontrar la mínima cantidad de piezas del mismo tipo, de manera que cubran todo el tablero, o el de el número máximo de piezas del mismo tipo que se pueden colocar sin que se protejan entre ellas, estos en un tablero de 8×8 ó de otro tamaño. Probablemente, usted como aficionado alguna vez ha tratado de resolver este problema para el caso de colocar 8 damas en el tablero sin que se protejan entre ellas y ha encontrado alguna de las 92 soluciones. El gran matemático alemán Carl F. Gauss, el genio más grande de la era moderna, se interesó por el "problema de las 8 damas" y descubrió solamente 72. Todas estas soluciones se obtienen de 12 ubicaciones básicas, por rotaciones y reflexiones. Leonard Euler, el más prolífico y gran matemático suizo del siglo pasado se planteó y resolvió el "problema del movimiento del caballo" que dice así: andar con el caballo por todas las casillas del tablero sin estar dos veces en ninguna de ellas. Otro problema que ha apasionado a matemáticos y no matemáticos, es la construcción de los cuadrados mágicos8 de orden n. Pues bien, Euler logró dar una solución simultánea a ambos problemas, Figura 3, en donde cada fila y cada columna suma 260, cada fila y columna de cada uno de los cuatro subcuadrados de orden 4 sumaba 130 y tal que en este "tablero mágico" de orden 8 se describe la ruta del movimiento del caballo por todo el tablero.

1	48	31	50	33	16	63	18
30	51	46	3	62	19	14	35
47	2	49	32	15	34	17	64
52	29	4	45	20	61	36	13
5	44	25	56	9	40	21	60
28	53	8	41	24	57	12	37
43	6	55	26	39	10	59	22
54	27	42	7	58	23	38	11

Figura 3: Tablero mágico: solución al problema del movimiento del caballo.

Otro problema, bastante sencillo pero interesante, conocido como el "del rey intangible" dice: ¿puede la dama blanca en ayuda de su rey, que tiene prohibido moverse, dar mate al rey enemigo solitario? Muchos ajedrecistas dijeron que no, pero el matemático Landau descubrió que se puede si el rey blanco intangible está ubicado en una de las casillas c3, c6, f3 ó f6 con la dama blanca y el rey negro en cualquier casilla, en no más de 23 movimientos. Un problema que atrajo la atención es el de encontrar el recorrido máximo del caballo en un tablero de n×n sin que estos se crucen, Knuth encontró que hay dos en el tablero de orden 3, cinco en el de orden 4, cuatro en el de 5, uno en el de 6, catorce en el de 7, y cuatro en el de 8, en la Figura 4 se muestra el recorrido máximo y único en el tablero de 6×6, que es de 17 movimientos.

Figura 4: Recorrido máximo del caballo en el tablero de 6×6.

Usted probablemente conoce un juego geométrico, conocido como Tangrama, que ayuda a formar miles de figuras a partir de cinco triángulos, un cuadrado y un trapezoide, consulte. El interés de este trabajo no es adentrarse en este juego, sin embargo, le dejamos como ejercicio el formar las piezas del ajedrez: peón, caballo, alfil, torre, dama y rey. El matemático inglés Stephen J. Turner dijo: "Quien solo haya hecho ejercicios de matemáticas sin haber resuelto ningún problema, es igual a quien sabe mover las piezas del ajedrez sin haber jugado nunca un verdadero juego; lo real en matemáticas es participar en el juego". Y no es de extrañar que grandes matemáticos hayan sido grandes ajedrecistas, Adolf Anderssen fue profesor de matemática y campeón del mundo sin corona, Wilhelm Steinitz fue distinguido estudiante de matemática y campeón 1986 a 1904, Emanuel Lasker campeón de 1904 a 1921 y Max Euwe campeón de 1935 a 1937 ambos Doctores en Matemática, Mikhail Botvinnik y muchos más fueron ingenieros con buena formación en matemática y más recientemente vemos a J. Nunn, J. Speelmann y E. Guik entre otros. Así mismo en la Olimpíada Costarricense de Matemática del año 1996, cuatro ajedrecistas tuvieron una brillante participación; Fabián Carballo y David Rodríguez con medalla de bronce, Gustavo Madrigal medalla de plata y Mauricio Chicas medalla de oro. El ajedrez ha sido una fuente de problemas matemáticos, por ejemplo, en la Olimpíada Húngara de Matemática del año 1926 se planteó el siguiente problema: "Pruebe que, si a y b son enteros dados, el sistema de ecuaciones

x + y + 2z + 2t = a

2x - 2y + z - t = b

Tiene soluciones enteras para x, y, z y t". Con un poco de ayuda del álgebra se obtienen las soluciones x = a-b, y = -b, z=-a+b y t = a, que se pueden verificar por simple sustitución, los detalles de esta solución se pueden ver más. Más que la solución, nos interesa ver de dónde nace este problema. Suponga que se tiene un tablero infinito de ajedrez, como el del desesperado Rey, sobre este tablero sobreponemos un plano cartesiano de manera que cada par ordenado (a, b), con a y b enteros, se encuentre en el centro de cada escaque. Si llamamos a (0, 0) como el origen del sistema podemos ver que los 8 movimientos posibles del caballo, a partir del origen, se pueden representar por:

u1 = (1, 2) u2 = (1, - 2) u3 = (2, 1) u4 = (2, - 1)

- u1 = (- 1, - 2) - u2 = (- 1, 2) - u3 = (- 2, - 1) - u4 = (- 2, 1) ui y - ui son opuestos en el sentido de que si movemos y retrocedemos, llegamos de nuevo al origen. En este sentido, efectuar x veces el movimiento u1 se representa por (x, 2x), efectuar y veces el movimiento u2 se representa por (y, - 2y), efectuar z veces el movimiento u3 se representa por (2z, z) y efectuar t veces el movimiento u4 se representa por (2t, - t), así al efectuar todos los movimientos juntos se obtiene de la suma vectorial y se puede representar como (x + y + 2z + 2t, 2x - 2y + z - t) y las soluciones del sistema de ecuaciones, describen los movimientos para llegar con el caballo al escaque (a, b), es decir se prueba que el caballo puede visitar todas las casillas del tablero y da su recorrido. Muy interesante es la comparación que hace Perero: "La matemática, como un sistema puramente formal, se puede comparar con el ajedrez, los elementos primitivos en ajedrez son las 32 piezas y el tablero; los axiomas son las descripciones de los movimientos de las piezas, no son evidentes, no son ni verdaderos ni falsos, son así y se aceptan sin discutir, las reglas del juego constituyen la lógica del sistema. Nadie se pregunta si el ajedrez es verdadero o falso, lo único importante es saber si se siguen las reglas".

UNA HISTORIA DEL AJEDREZ.

Las leyes del Ajedrez y el movimiento de las piezas tradicionales del Ajedrez, han sido las mismas desde el Siglo VI del segundo milenio. Los cambios que se llevaron a cabo, han acelerado el ritmo del juego tal como permitir a los Peones avanzar dos casillas en su opción de primer movimiento (OPM). Los orígenes del Ajedrez no son muy claros. Cierta evidencia presentada por David Li en “Genealogía del Ajedrez” muestra muy claramente que fue desarrollado en China en el segundo siglo A.C. pero no fue sino hasta el séptimo Siglo que se hace referencia del juego en la literatura. De acuerdo a ciertas fuentes (Forbes, Historia del Ajedrez, 1860) el juego fue inventado entre cuatro o cinco mil años atrás por la esposa del Rey Ravana de Ceilán, cuando la capital fue sitiada por Rama.

La primera mención del Ajedrez se encuentra en un poema Persa en el cual menciona que el advenimiento del juego se desarrolló en la India. El Ajedrez emigró a Persia (Irán) durante el reinado del Rey Chosroe-I Annshiravan (531-579) y se describe en un manuscrito Persa de ese periodo. Dicho texto explica la terminología, nombres y funciones de las piezas con cierto detalle.

El Ajedrez también es mencionado en los poemas de Firdousi, un poeta Persa del Siglo X, en el cual él menciona presentes que son introducidos por una caravana del Rajah de la India en la corte del Rey Persa Chosroe-I. Entre esos regalos, se encontraba un juego que simulaba una batalla entre dos ejércitos. Registros señalan que había originalmente cuatro tipos de piezas usados en el Ajedrez. El Shatrang (Sánscrito en Hindú) significa "cuatro" y anga significa "destacamento".

En la dinastía Sassanid (242-651 DC) un libro fue escrito en idioma Medio Persa Pahlavi llamado "Chatrang namakwor" (un manual del Ajedrez). El Shatrang (Ajedrez) representa el universo de acuerdo a un antiguo misticismo Hindú. Los cuatro lados representan los 4 elementos (fuego, aire, tierra y agua) y las cuatro "gracias" del hombre. Aunque los nombres de las piezas son diferentes en varios países hoy, sus movimientos son sorprendentemente similares. En Persia, la palabra "Shatrang" se usó para nombrar al Ajedrez mismo.

En el Siglo VIII, los Moros invadieron España y el Ajedrez se propagó por Europa. El juego fue introducido al mundo Occidental al conquistar los Musulmanes territorios de India y Persia al Oriente y España al Occidente. La primer mención del Ajedrez se encuentra en el Testamento Catalán de 1010 DC. Un juego de Ajedrez le fue obsequiado como presente a Carlos Magno de parte del famoso soberano Musulmán Haroon-al-Rashid. Los Musulmanes también conquistaron Sicilia y el juego llego a Rusia probablemente a través de las rutas Caspio-Volga de comercio. Los nombres de las piezas Rusas claramente indican el origen Persa y Árabe del juego.

En poemas populares de Rusia, el Ajedrez se menciona como un juego popular. Los Vikingos llevaron el juego al noreste de Europa a través del mar Báltico. El Ajedrez arribó a Alemania alrededor del Siglo XI con la referencia más reciente del juego hecha por el Monje ‘Froumund von Tegermsee’. El Ajedrez se extiende a Italia desde Alemania y más tarde a Inglaterra e Irlanda. También llego a Escandinavia por el Siglo XI y a Bohemia desde Italia. La creciente popularidad del Ajedrez se confirma por la gran cantidad de literatura que ha sido impresa a través de los últimos Siglos.

Los más antiguos de estos problemas de Ajedrez (Mansubat) fueron escritos por el autor Árabe Al-Aldi en el Siglo IX quién también menciona las diferencias entre las reglas del juego Hindú y Persas. Partidas a ciegas, contiendas formales, problemas de Ajedrez (Mansubat), el primer libro de Ajedrez y Torneos, eran conocidos más allá del Siglo VII. A la fecha, el juego tradicional de Ajedrez es muy similar al juego original que se practicaba en la India 1400+ años atrás (p.e., la estructura del juego no ha sido alterada significativamente). Chesmayne permite cualquier estructura que sea usada para jugar.

A la fecha existen 149 países pertenecientes a la FIDE que practican el Ajedrez. En los últimos Siglos el Ajedrez tradicional se ha convertido realmente en un atractivo de corte internacional. El Ajedrez es excitante, exige habilidad y el resultado es impredecible. No se trata de una contienda física y no existe el elemento "suerte" como en los juegos de naipes.

En las guerras del Oriente, una batalla podría ser decidida por la muerte o captura del Rey lo cual en términos de Ajedrez se conoce como Shah-mat (Jaque Mate, ++CM). Por lo tanto dos ejércitos se enfrentan uno al otro. Uno puede tratar un asalto frontal o maniobras pacientes de acorralamiento. Uno puede engañar o regalar Peones malos, o hacer sacrificios con el fin de emboscar al enemigo y capturar al comandante en jefe: el Rey.

Los Persas recibieron al Ajedrez con entusiasmo. Los Califas, soberanos del mundo Musulmán, mantuvieron profesionales del Ajedrez en sus Cortes a través de de los Siglos IX y X. El Ajedrez fue traído a Europa por los Moros en España antes de 1,000 DC. Hubo gran confusión por la Europa medieval en relación a los nombres de las piezas. Los elefantes se convirtieron en Arqueros en España, Portadores-Comúnes en Italia, Mensajeros en Alemania, Bufones de la Corte en Francia y Alfiles en Portugal, Inglaterra, Irlanda e Islandia.

El ‘rukh’ (Carruaje de guerra) fue otro enigma. En 1527, un poeta italiano, Vida, extravagantemente identifico a la Torre como un elefante con una Torre en el lomo tal como fue usado por Hannibal diecisiete Siglos antes. Esto se arraigó, pero el elefante era difícil de esculpir y desapareció quedando solo la Torre.

La primer gran contribución de Europa al Ajedrez se suscitó por los años 1,000 DC: un tablero con casillas de color alternadas para asistir a la vista (anteriormente no era así). Para detalles más completos, se puede observar al juego Japonés Shogi. Un Siglo más tarde vino una segunda contribución: el aceleramiento de la Apertura, dándole a los Peones la opción de avanzar dos casillas en su primer movimiento. Por el año de 1580, un Italiano sugiere transformar a la Reina en la pieza más poderosa en vez de la más débil.

Parte de los contenidos de esta entrada tienen como fuente los siguientes artículos de Wikipedia en español:

* Punto (geometría), Recta, Plano (geometría), Cuadrilátro, Ajedrez, Número áureo y Senet

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